文章目录
- 1. 公式
- 2. 证明
1. 公式
M = I − u v T ⇒ M − 1 = I + u v T 1 − v T u (1) M=I-uv^T\Rightarrow M^{-1}=I+\frac{uv^T}{1-v^Tu}\tag{1} M=I−uvT⇒M−1=I+1−vTuuvT(1)
2. 证明
- 定义矩阵E表示如下：
E = [ I u v T 1 ] , D = 1 − v T u (2) E=\begin{bmatrix}I&&u\\\\v^T&&1\end{bmatrix},D=1-v^Tu\tag{2} E= IvTu1 ,D=1−vTu(2)
我们想求 E − 1 E^{-1} E−1，可以通过增广矩阵，进行行变换得到， - 第一种方法是：将第一行乘以
v
T
v^T
vT后加到第二行中.
[ I 0 − v T 1 ] E = [ I u 0 D ] (3) \begin{bmatrix}I&&0\\\\-v^T&&1\end{bmatrix}E=\begin{bmatrix}I&&u\\\\0&&D\end{bmatrix}\tag{3} I−vT01 E= I0uD (3)
E − 1 = [ I u 0 D ] − 1 [ I 0 − v T 1 ] = [ I + u D − 1 v T − u D − 1 − D − 1 v T D − 1 ] (4) E^{-1}=\begin{bmatrix}I&&u\\\\0&&D\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}I&&0\\\\-v^T&&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I+uD^{-1}v^T&&-uD^{-1}\\\\-D^{-1}v^T&&D^{-1}\end{bmatrix}\tag{4} E−1= I0uD −1 I−vT01 = I+uD−1vT−D−1vT−uD−1D−1 (4) - 第二种方法是：将第二行乘以
u
u
u后加到第一行中.
[ I − u 0 1 ] E = [ I − u v T 0 v T 1 ] (5) \begin{bmatrix}I&&-u\\\\0&&1\end{bmatrix}E=\begin{bmatrix}I-uv^T&&0\\\\v^T&&1\end{bmatrix}\tag{5} I0−u1 E= I−uvTvT01 (5)
E − 1 = [ I − u v T 0 v T 1 ] − 1 [ I − u 0 1 ] = [ M − 1 − M − 1 u − v T M − 1 1 + v T M − 1 u ] (6) E^{-1}=\begin{bmatrix}I-uv^T&&0\\\\v^T&&1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}I&&-u\\\\0&&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}M^{-1}&&-M^{-1}u\\\\-v^TM^{-1}&&1+v^TM^{-1}u\end{bmatrix}\tag{6} E−1= I−uvTvT01 −1 I0−u1 = M−1−vTM−1−M−1u1+vTM−1u (6) - 由公式4,6 可得，两个
E
−
1
E^{-1}
E−1相等,
M
=
I
−
u
v
T
M=I-uv^T
M=I−uvT
[ I + u D − 1 v T − u D − 1 − D − 1 v T D − 1 ] = [ M − 1 − M − 1 u − v T M − 1 1 + v T M − 1 u ] (7) \begin{bmatrix}I+uD^{-1}v^T&&-uD^{-1}\\\\-D^{-1}v^T&&D^{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}M^{-1}&&-M^{-1}u\\\\-v^TM^{-1}&&1+v^TM^{-1}u\end{bmatrix}\tag{7} I+uD−1vT−D−1vT−uD−1D−1 = M−1−vTM−1−M−1u1+vTM−1u (7) - 由第一个行，第一列可得如下
M − 1 = I + u D − 1 v T = I + u v T 1 − v T u (8) M^{-1}=I+uD^{-1}v^T=I+\frac{uv^T}{1-v^Tu}\tag{8} M−1=I+uD−1vT=I+1−vTuuvT(8) - 结论：
M = I − u v T ⇒ M − 1 = I + u v T 1 − v T u (9) M=I-uv^T\Rightarrow M^{-1}=I+\frac{uv^T}{1-v^Tu}\tag{9} M=I−uvT⇒M−1=I+1−vTuuvT(9)
